数学基础(一) —— 跟WilliamYan一起学算法

嗯,对,今天我们来学数学。真的就只是数学。

进制

定义

进位制/位置计数法是一种记数方式,故亦称进位记数法/位值计数法,可以用有限的数字符号代表所有的数值。可使用数字符号的数目称为基数或底数,基数为n,即可称n进位制,简称n进制。现在最常用的是十进制,通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数

X进制,就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。 十进制是逢十进一,十六进制是逢十六进一,二进制就是逢二进一,以此类推,x进制就是逢x进位

进制转换

十进制与二进制之间的转换

  • 十进制转换为二进制,分为整数部分和小数部分

    • 整数部分
      方法:除2取余法,即每次将整数部分除以2,余数为该位权上的数,而商继续除以2,余数又为上一个位权上的数,这个步骤一直持续下去,直到商为0为止,最后读数时候,从最后一个余数读起,一直到最前面的一个余数。下面举例:
      例:将十进制的168转换为二进制

    得出结果 将十进制的168转换为二进制,(10101000)~2~
    分析:

    1. 将168除以2,商84,余数为0

    2. 将商84除以2,商42余数为0

    3. 将商42除以2,商21余数为0

    4. 将商21除以2,商10余数为1

    5. 将商10除以2,商5余数为0

    6. 将商5除以2,商2余数为1

    7. 将商2除以2,商1余数为0

    8. 将商1除以2,商0余数为

    9. 读数,因为最后一位是经过多次除以2才得到的,因此它是最高位,读数字从最后的余数向前读,即10101000

    • 小数部分
      方法:乘2取整法,即将小数部分乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分继续乘以2,然后取整数部分,剩下的小数部分又乘以2,一直取到小数部分为零为止。如果永远不能为零,就同十进制数的四舍五入一样,按照要求保留多少位小数时,就根据后面一位是0还是1,取舍,如果是零,舍掉,如果是1,向入一位。换句话说就是0舍1入。读数要从前面的整数读到后面的整数,下面举例:
      例1:将0.125换算为二进制

    得出结果:将0.125换算为二进制(0.001)2
    分析:

    1. 将0.125乘以2,得0.25,则整数部分为0,小数部分为0.25
    2. 将小数部分0.25乘以2,得0.5,则整数部分为0,小数部分为0.5
    3. 将小数部分0.5乘以2,得1.0,则整数部分为1,小数部分为0.0
    4. 读数,从第一位读起,读到最后一位,即为0.001。

其他进制转换类似

位运算

原码,反码和补码

在学习原码, 反码和补码之前, 需要先了解机器数和真值的概念.

概念

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

真值

因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

[-127 , 127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式.

反码

反码的表示方法是:

正数的反码是其本身

负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反.

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

补码

补码的表示方法是:

正数的补码就是其本身

负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

用途

在开始深入学习前, 我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码, 反码和补码的表示方式以及计算方法.

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.

于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 – 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.

为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 – 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]原和[1000 0000]原两个编码表示0.

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

这样0用[0000 0000]表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, [1000 0000]补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000]原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2^31^, 2^31^-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.

再深入

计算机巧妙地把符号位参与运算, 并且将减法变成了加法, 背后蕴含了怎样的数学原理呢?

将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

  1. 往回拨2个小时: 6 – 2 = 4

  2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

  3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余数是4.

所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

现在的焦点就落在了如何用一个正数, 来替代一个负数. 上面的例子我们能感觉出来一些端倪, 发现一些规律. 但是数学是严谨的. 不能靠感觉.

首先介绍一个数学中相关的概念: 同余

同余的概念

两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余

记作 a ≡ b (mod m)

读作 a 与 b 关于模 m 同余。

举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28关于模 12 同余.

负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?

下面是关于mod运算的数学定义:
$$
x \text{ mod }y = x – (y \times \left\lfloor{x\div y}\right\rfloor)
$$
上面公式的意思是:

$x\text{ mod }y$等于 $x$ 减去 $y$ 乘上 $x$ 与 $y$ 的商的下界.

以 -3 mod 2 举例:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
-3 \text{ mod }2 &= -3-2\times\left\lfloor{-\frac{3}{2}}\right\rfloor\\
&=-3-2\times\left\lfloor{-1.5}\right\rfloor\\
&=-3-2\times\left({-2}\right)\\
&=-3+4\\
&= 1\\
\end{aligned}
\end{equation}
$$
所以:
$$
(-2)\text{ mod }12=12-2=10\\
(-4)\text{ mod }12=12-4=8\\
(-5)\text{ mod }12=12-5=7
$$

开始证明

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

注意, 这里发现的规律!

结合上面学到的同余的概念.实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2与10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4与8是同余的.

距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

这个定理是很显而易见的.

线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a c ≡ b d (mod m)

如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7-2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

发现有如下规律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个模的同余数. 而这个模并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]补 + [1111 1111]补

如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111]原 = 127

其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了模的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

=[原码,反码和补码 来源]: https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html "原码, 反码, 补码 详解 作者:张子秋 "

位运算

位运算:直接对计算机内的二进制数进行计算(速度非常快)

位与 (&)

&通常用于二进制取位操作

两个都是1才取1

位或 ( | )

用于二进制上特定位上

只要有1就取1

异或 (^)

不同的 结果是1

相同的 结果是0

按位取反 (~)

0,1相互转换

左移运算(<<)

a<<b表示把A转成二进制后,向左移动一位,不够补0

右移运算(>>)

a>>b表示把A转成二进制后,向右移动一位,直接删去最左边的

当然,位运算我们还有一些其他的奇技淫巧

右边第k位取反

$a \text{^} (2^{(k-1)})$

把末K位变成1

$a | ( 2^{k} – 1 )$

取右边的连续的1

$( a \text{^} ( a + 1 ) ) >> 1$

快速幂

幂运算是非常常见的一种运算,求取 $a^n$ ,最容易想到的方法便是通过循环逐个累乘,其复杂度为O(n),这在很多时候是不够快的,所以我们需要一种算法来优化幂运算的过程.

当计算$a^n \text{mod } p $的值时,除了多次相乘,还有更快的方法计算。

公式如下:

$$
a^n (\text{ mod } p) \equiv
\begin{cases}
1\& n=0\\
(a^{\frac{n}{2}})^2\& n>0 \text{ and } (n\text{ mod }2 =0)\\
(a^{\frac{n-1}{2}})^2\times a \& n\text{ mod }2 =1\\
\end{cases}
$$

python代码:

def quick_algorithm(a,b,c):
    a=a%c
    ans=1
    #这里我们不需要考虑b<0,因为分数没有取模运算
    while b!=0:
        if b&1:
            ans=(ans*a)%c
        b>>=1
        a=(a*a)%c
    return ans

求最大公约数

欧几里得算法据说是最早的算法,用于计算最大公约数,也是数论的基础算法之一。分为辗转相减/相除法

$$
f(a,b)=f(a,a-b)\\
f(a,b)=f(b,a\text{ mod }b)\\
$$

其中辗转相除法较为常用,迭代次数 $O(\log_2\text{min}(a,b))$

从计算时间上看,使用递推法计算速度快于递归实现。

总结

有句话说得好,计算机离不开数学。因此,良好的数学基础,对于学习计算机来讲的确是十分有必要的。

© 2019 William Yan

点赞

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注

此站点使用Akismet来减少垃圾评论。了解我们如何处理您的评论数据